这集接着讲 RAG 里最核心的一步——余弦相似度，它到底是怎么算的。

RAG 的一个核心功能，是把我们的输入向量化，映射到向量空间里，再去向量数据库中找到跟这个输入向量相似的那部分内容取回来，交给大语言模型。那它是怎么找到「相近」的内容的？用的就是余弦相似度。

上一集讲 self-attention 的 Q、K、V 时提过，核心就是两个向量的点积。一个向量乘以另一个向量，结果等于这个向量的长度，乘以另一个向量在它方向上的投影。写成公式就是：a 向量乘以 b 向量，等于 a 的长度乘以 b 的长度，再乘以它们夹角的 cosine。

余弦相似度的公式则是：a 和 b 的点积，除以 a 的长度乘以 b 的长度。而点积本身就等于 a 的长度乘 b 的长度再乘 cos Theta，上下约分一约掉，结果就只剩下 cos Theta。

所以余弦相似度的意思其实就是两个向量的夹角：夹角是 0，说明两个向量基本完全一样；夹角越小代表越相似；离得越远、甚至方向相反，就代表越没有关系。

RAG 正是靠这个来工作的：拿我们输入的向量去和向量库里每个目标向量算余弦相似度，比一比 Theta 夹角的大小，来决定该取回哪一部分内容。因为这些内容本质上都是压缩之后的向量，所以它可能会按相似度大小排序，返回若干个结果给我们。这就是 RAG 最核心的工作原理之一。